ArcFace，CosFace，SphereFace，三种人脸识别算法的损失函数(Loss Function)的设计

    最近看了点人脸识别算法，发现ArcFace，CosFace，SphereFace的损失函数（Loss Function）设计得非常有意思，且设计理念都是相似的，因此今天就记一篇损失函数的设计。

    ArcFace，出自英国帝国理工。文章全名是：ArcFace: Additive Angular Margin Loss for Deep Face Recognition。

    这篇文章有公开源代码，B站有作者对论文的讲解，很仔细，网上甚至能搜到翻译好的论文，大家都可以去看。

CosFace，出自腾讯，文章全名是：CosFace: Large Margin Cosine Loss for Deep Face Recognition。

    SphereFace，出自美国和中国的三所大学，文章全名是：SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition。

    文章先介绍Softmax，再介绍Softmax Loss，最后介绍ArcFace，嫌啰嗦可以直接看第三部分。

    1. Softmax

    ArcFace, CosFace, SphereFace的损失函数都是从Softmax-Loss演化来的，而Softmax-Loss是由Softmax和交叉熵(cross-entropy loss)而来。先看Softmax，这个概念参考[1]解释的非常仔细，这里只做简述，先上公式：

这公式是啥子意思呢？先看一个应用：

    假如我们现在有一个分类任务，如果模型足够理想，输入一张猫图，输出[1, 0]，输入一张狗图，输出[0, 1]。通常这种任务，前面会是一个深度卷积神经网络，最后会有一个全连接层，经过这个全连接层会得到图的特征向量(embedding)，我自己喜欢管embedding叫特征向量。上图中最后得到的特征向量是[1.2, 0.3]，再经过softmax：

得到了[0.71, 0.29]，我们可以这样理解最后这个结果，这张图是猫的概率是0.71，是狗的概率是0.29，它们两加起来是1，不管softmax的输入向量为何，输出向量里的值相加一定是1，得到的结果可以理解为图在各个类上的概率分布，向量的长度即类别（class）的数量。Softmax主要用在多分类任务上。

   2. Softmax Loss 和 Cross Entropy Loss

    交叉熵度量的是两个概率分布的差异。

    要理解交叉熵，有很多概念需要理解，一个一个来。

    信息量，一个事件发生的概率越大，携带的信息量越小，发生的概率越小，这个事件携带的信息量越大。比如太阳从东边升起，这个事件如果发生了，我们可以从这个事件中获得的信息是几乎没有的。但是，如果哪天太阳从西边升起了，那么我们从这个事件中获得的信息量是极大的，一定发生了什么，或者即将发生什么，才造成了这个事件发生。

    假设X是一个离散型随机变量，概率分布函数为：

    则定义X = x0的事件为：

    若p(x0)为0，也就是事件x0是不可能发生的事件，但是它却发生了，那么这个事件的信息量是无穷大的，I(x0)的值是无穷大的，如果p(x0)为1，也就是事件x0是一定会发生的事件，那么这个事件的发生是不带信息量的，I(x0)的值是0。

    信息熵，则是信息量的期望值：

    事件的概率不均，信息熵较小，若各个事件发生的概率一样，信息熵较大。

​ 相对熵(relative entropy)，又称之为KL散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)，公式：

    相对熵的目标是：计算用P描述目标问题，比Q描述目标问题能获得的信息增量。

    如果分布P和分布Q是一样的，那么相对熵是0，如果不一样，相对熵大于0，越大，表示两种分布之间的差距越大。

    在机器学习的项目中，通常P表示真实的分布，即需要训练模型达到的分布，Q是现在的模型预测的分布。

    交叉熵(Cross entropy)，将相对熵公式变形：

    前半部分是信息熵的负值，后半部分则是交叉熵，所以交叉熵的公式是：

    因为P的信息熵是一定的，那么其实是可以省略这部分计算的，交叉熵和相对熵的意义是一样的。只是最后计算出的值，区间不一样。

    Cross-Entropy Loss 和 Softmax Loss

    毫无疑问，交叉熵可以用作损失函数，且比起MSE，MAE，要优秀不少，

… using the cross-entropy error function instead of the sum-of-squares for a classification problem leads to faster training as well as improved generalization. — Page 235, Pattern Recognition and Machine Learning, 2006.

    结合上面猫狗分类的案例，假如有一张猫图输入，P是[1, 0], Q是[0.71, 0.29]，交叉熵的计算为：

    H(P, Q) = – (P(cat) * log(Q(cat)) + P(dog) * log(Q(dog)))

    值得注意的是，在很多多分类问题中，不论有多少类，P不论有多少个元素，都只有一个为1，其他都为0，所以交叉熵的计算可以化简为，也就是说如果P(cat)为1，那么交叉熵的结果和Q(dog)，Q(car)，Q(any other)是无关的：

    H(P, Q) = –  log(Q(cat))

    因此，如果Q(cat)是用Softmax Function计算出来的，那么H(P, Q)计算得到的就是该样本在该模型下的Softmax Loss。

    Softmax Loss的完整公式如下：

    N是样本数量，n是class的数量，特征向量的长度为d，Wj是W的第j列，和b一起是获得特征向量的全连接层，W是d*n的矩阵，bj的长度是n。log后面则是用Softmax Function计算出的‘Q(cat)’。

    因此，其实本来没有什么Softmax Loss的概念，这个公式是在多分类任务中使用Softmax Function+Cross Entropy loss产生的。

​ 3. SphereFace， CosFace和ArcFace

    以上都是前情提要，因为SphereFace, CosFace和ArcFace的损失函数都是由Softmax Loss而来。

    首先，令：

    再做如下转换：

    令：

    再令||xi||的值为s，则之前的Softmax Loss可转换为如下表达：

    这样转换，其实还是Softmax Loss只是换了个写法，接下来看本文介绍的三个方法分别是怎么定义的损失函数：

    SphereFace:

    CosFace:

    ArcFace:

    将上面三个公式融合一下还可以得到一个新的损失函数：

    接下来看为什么做上述这些变化，是有意义的。其实这样变换的思路并不新奇，逻辑回归->SVM，Triplet-Loss的设计都用的是这样的设计理念。

    即：

        类内聚敛(Intra-class compactness)

        类间分离(Inter-class discrepancy)

    用大白话说一下就是，训练的时候我们就告诉模型，啊，这两个类呢，你得给我们分出来，而且呢，还得按一定距离分出来，再白话一点就是，不但要分出来，还得分得够开。那么怎么能够让模型把两个类分得够开呢？这里我们简单说一下Triplet Loss，这个损失函数常用于人脸识别。

    比方说，你现在有以下一个任务：训练一个模型，认出吴恩达老师。因为人脸的类别多，每个类的数据不多，你采用Pairwise的训练方式，用的损失函数是Triplet Loss，即每组样本有三张图，分别是Anchor Image，Positive Image, 和Negative Image。

<div align=center></div>   

长成Anchor Image这样的就是吴恩达老师，现在又分别有一张Positive Image，Negative Image，通过训练，希望模型可以缩小Anchor和Positive的距离，增大Anchor和Negative的距离，用更直观的图表现如下：

而训练的时候计算Triplet Loss如下：

上面公式分三部分，第一部分是Anchor和Positve的距离，第二部分是Anchor和Negative的距离，我们希望模型计算出的第一个距离小于第二个距离，但不是小就行了，还得小到一定量才行，公式中的第三部分的偏置值则告诉模型，要小多少，loss才能为零或者小于零。

    这个理念搁在角向量里，则可以表达为：

即，Anchor的特征向量和Positve的特征向量的夹角得小于Anchor和Negative的夹角，而且得小m那么大。 

    假如是一个八分类的问题，a图是Softmax Loss的训练目标，而b图是ArcFace的训练目标，两个之间的不同不言而喻。

    也就是说，我们不仅希望模型在角向量里可以将不同类区别开来，还可以按一定距离区别开来。SphereFace和CosFace设计理念也是一样的，至于它们三个的区别，看下图：

    很多方法的设计理念是一致的，但变化是无穷的，精益求精。

    就好像钢琴就那么一排键盘，却能弹出数不尽的曲子，而且，总会有更令人心动的曲子出现。

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除了文中的列出的三篇论文，还参考了：

[1] Thomas Wood，Softmax Function Definition, DeepAI

[2] Jason Brownlee，A Gentle Introduction to Cross-Entropy for Machine Learning，2019

[3] 史丹利复合田，一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用，透彻理解交叉熵背后的直觉，CSDN，2018

[4] Daniel Godoy, Understanding binary cross-entropy / log loss: a visual explanation, Towards Data Science, 2018

[5] Softmax, Chaos-gravity, 2020

[6] Cross Entropy Loss, Chaos-gravity, 2020

[7] Susmith Reddy, Intuition of Triplet Loss, 2019